More

    Công thức tính độ dài trung tuyến trong tam giác & các dạng bài tập


    Công thức tính độ dài trung tuyến trong tam giác & các dạng bài tập

    Sau đây THPT Sóc Trăng sẽ chia sẻ đến các bạn công thức tính độ dài trung tuyến trong tam giác cực hay và các dạng toán thương gặp. Hãy chia sẻ để nắm chắc hơn phần kiến thức Hình học 12 vô cùng quan trọng này bạn nhé !

    I. LÝ THUYẾT VỀ ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN TRONG TAM GIÁC 

    1. Đường trung tuyến là gì? Đường trung tuyến trong tam giác là gì?

    Bạn đang xem:

    Đường trung tuyến của 1 đoạn thẳng là 1 đường thẳng đi qua trung điểm của đường thẳng đó


    Bài viết gần đây

    Đường trung tuyến trong tam giác là một đoạn thẳng nối từ đỉnh của tam giác tới các cạnh đối diện nó. Mỗi tam giác có 3 đường trung tuyến.

    2. Tính chất của đường trung tuyến trong tam giác

    Trong tam giác thường, vuông, cân đều có tính chất của đường trung tuyến khác nhau.

    Đường trung tuyến trong tam giác thường gồm 3 tính chất như sau:

    • 3 đường trung tuyến trong tam giác cùng đi qua 1 điểm, điểm đó cách đỉnh tam giác một khoảng bằng độ dài của đường trung tuyến đi qua đỉnh đó.
    • Giao điểm của 3 đường trung tuyến được gọi là trọng tâm
    • Vị trí trọng tâm trong tam giác: Trọng tâm của 1 tam giác cách mỗi đỉnh 1 khoảng bằng độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh đó.

    Tính chất đường trung tuyến của tam giác vuông:

     Tam giác vuông là một trường hợp đặc biệt của tam giác, trong đó, tam giác sẽ có một góc có độ lớn là 90 độ, và hai cạnh tạo nên góc này vuông góc với nhau.

    – Do đó, đường trung tuyến của tam giác vuông sẽ có đầy đủ những tính chất của một đường trung tuyến tam giác.

    Định lý 1: Trong một tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền.

    Định lý 2: Một tam giác có trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh đó thì tam giác ấy là tam giác vuông.

    Tính chất đường trung tuyến của tam giác đều, tam giác cân

    • Đường trung tuyến ứng với cạnh đáy thì vuông góc với cạnh đấy, và chia tam giác thành 2 tam giác bằng nhau

    II. CÔNG THỨC TÍNH ĐỘ DÀI ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN TRONG TAM GIÁC

    Công thức:

    Công thức tính độ dài đường trung tuyến của cạnh bất kỳ bằng căn bậc 2 của một phần hai tổng bình phương hai cạnh kề trừ một phần tư bình phương cạnh đối.

    cong thuc tinh do dai duong trung tuyen

    Trong đó: a, b ,c lần lượt là các cạnh trong tam giác

    ma, mb, mc lần lượt là những đường trung tuyến trong tam giác

    Ví dụ minh họa:

    Ví dụ 1:

    Cho tam giác ABC, có BC = a, CA = b và AB = c. Chứng minh rằng nếu b2 + c2 = 5a2 thì hai trung tuyến kẻ từ B và C của tam giác vuông góc với nhau.

    Lời giải:

    [CHUẨN NHẤT] Công thức tính độ dài đường trung tuyến (ảnh 6)

    Gọi D và E lần lượt là trung điểm của AB và AC, G là trọng tâm tam giác ABC.

    Đặt BE = mb, CD = mc

    Áp dụng công thức trung tuyến trong tam giác ABC ta có:

    [CHUẨN NHẤT] Công thức tính độ dài đường trung tuyến (ảnh 7)


    Vậy b2 + c2 = 5a2 thì hai trung tuyến kẻ từ B và C của tam giác vuông góc với nhau. (đpcm)

    Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có BC = a = 10 cm, CA = b = 8 cm, AB = c = 7 cm. Tính độ dài các đường trung tuyến của tam giác ABC.

    Lời giải:

    Gọi độ dài trung tuyến từ các đỉnh A, B, C của tam giác ABC lần lượt là ma; mb; mc.

    Áp dụng công thức trung tuyến ta có:

    [CHUẨN NHẤT] Công thức tính độ dài đường trung tuyến (ảnh 4)

    Vì độ dài các đường trung tuyến (là độ dài đoạn thẳng) nên nó luôn dương, do đó:

    [CHUẨN NHẤT] Công thức tính độ dài đường trung tuyến (ảnh 5)

    III. BÀI TẬP VẬN DỤNG

    Bài 1: Cho tam giác ABC cân tại A, hai đường trung tuyến BD và CE cắt nhau tại G. Kéo dài AG cắt BC tại H.

    a. So sánh tam giác AHB và tam giác AHC.

    b. Gọi I và K lần lượt là trung điểm của GA và GC. Chứng minh rằng AK, BD, CI đồng quy.

    Lời giải:

    [CHUẨN NHẤT] Công thức tính độ dài đường trung tuyến (ảnh 11)

    a. Ta có BD là đường trung tuyến của tam giác ABC

    CE là đường trung tuyến của tam giác ABC

    Vậy G là trọng tâm tam giác ABC

    Mà AH đi qua G nên AH là đường trung tuyến của tam giác ABC

    HB = HC

    Xét hai tam giác AHB và tam giác AHC có:

    AB = AC (tam giác ABC cân tại A)

    AH chung

    HB = HC

    ⇒ ΔAHB = ΔAHC (c – c – c)

    b. Ta có IA = IG nên CI là đường trung tuyến của tam giác AGC (1)

    Ta lại có KG = KC nên AK là đường trung tuyến của tam giác AGC (2)

    DG là đường trung tuyến của tam giác AGC (3)

    Từ (1), (2), (3) suy ra 3 đường trung tuyến CI, AK, DG đồng quy tại I

    Bài 2: Cho tam giác ABC có BC = a = 10 cm, CA = b = 8 cm, AB = c = 7 cm. Tính độ dài các đường trung tuyến của tam giác ABC.

    Lời giải:

    Gọi độ dài trung tuyến từ các đỉnh A, B, C của tam giác ABC lần lượt là ma; mb; mc.

    Áp dụng công thức trung tuyến ta có:

    Công thức, cách tính độ dài đường trung tuyến cực hay, chi tiết - Toán lớp 10

    Vì độ dài các đường trung tuyến (là độ dài đoạn thẳng) nên nó luôn dương, do đó:


    Công thức, cách tính độ dài đường trung tuyến cực hay, chi tiết - Toán lớp 10

    Bài 3: Cho tam giác MNP cân tại M, biết MN = MP = 8cm, NP = 7cm. Kẻ đường tuyến MI. Chứng minh MI ﬩ NP

    Lời giải:

    Ta có MI là đường trung tuyến của ∆MNP nên IN = IP

    Mặt khác ∆MNP là tam giác cân tại M

    => MI vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao

    => MI ﬩ NP

    Bài 4: Cho tam giác ABC có AB = AC, gọi K là giao điểm của hai đường trung tuyến BM và CN. Chứng minh rằng:

    a. Tam giác BNC và tam giác CMB bằng nhau

    b. KB = KC

    c. BC < 4KM

    Lời giải:

    [CHUẨN NHẤT] Công thức tính độ dài đường trung tuyến (ảnh 12)

    a. Ta có: AB = AC (gt)

    [CHUẨN NHẤT] Công thức tính độ dài đường trung tuyến (ảnh 13)

    ⇒ BN = CM

    Xét ΔBCN và ΔCBM có:

    BC là cạnh chung

    BN = CM

    [CHUẨN NHẤT] Công thức tính độ dài đường trung tuyến (ảnh 14)

    Nên tam giác KBC cân tại A

    Suy ra KB = KC

    c. Xét ΔABC có:

    NA = NB (CN là đường trung tuyến)

    MA = MC (MB là đường trung tuyến)

    Suy ra NM là đường trung bình của tam giác ABC

    [CHUẨN NHẤT] Công thức tính độ dài đường trung tuyến (ảnh 15)

    Xét tam giác NKM có:

    NM < NK + KM (bất đẳng thức Cauchy trong tam giác)

    NK = CN – CK

    ⇒ BC/2 < CN – CK + KM (1)

    ΔBNC = ΔCMB ⇒ CN = BM (2)

    Tam giác KBC cân tai K ⇒ CK = BK (3)

    Từ (1), (2), (3) ⇒ BC/2 < BM – BK + KM

    ⇒ BC/2 < 2KM

    ⇒ BC < 4KM

    Bài 5: Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AB. Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AE = 1/3AC. Tia BE cắt CD ở M. Chứng minh :

    a) M là trung điểm của CD

    b) AM = dfrac{1}{2}BC.

    Hướng dẫn giải

    a. Xét tam giác BDC có AB = AD suy ra AC là đường trung tuyến tam giác BCD

    Mặt khác

    AEtext{ }=text{ }frac{1}{3}ACRightarrow CE=frac{2}{3}AC

    Suy ra E là trọng tâm tam giác BCD

    M là giao của BE và CD

    Vậy BM là trung tuyến tam giác BCD

    Vậy M là trung điểm của CD

    b. A là trung điểm của BD

    M là trung điểm của DC

    Suy ra AM là đường trung bình của tam giác BDC

    Suy ra AM = 1/2 BC

    Bài 6: Cho tam giác ABC vuông ở A, có AB = 18cm, AC = 24cm. Tính tổng các khoảng cách từ trọng tâm G của tam giác đến các đỉnh của tam giác.

    Hướng dẫn giải

    Gọi AD, CE, BF lần lượt là các đường trung tuyến nối từ đỉnh A, C, B của tam giác ABC

    Dễ dàng suy ra AE = EB = 9cm, AF = FC = 12cm

    Ta có tam giác ABC vuông tại A, áp dụng định lý Pitago ta có:

    BC2 = AB2 + AC2 ⇒ BC2 = 182 + 242 = 900 ⇒ BC = 30cm

    Ta có ABC vuông mà D là trung điểm cạnh huyền nên AD = BD = DC = 15cm

    Suy ra: AG = 2/3 AD = 10cm

    Xét tam giác AEC vuông tại A, áp dụng định lý Pitago ta có:

    EC2 = AE2 + AC2 ⇒ EC2 = 92 + 242 = 657 ⇒ EC = 3√73 cm ⇒ CG = 2/3 EC = 2√73 cm

    Tương tự ta xét tam giác AFB vuông tại A, áp dụng định lý Pitago ta có:

    BF2 = AB2 + AF2 ⇒BF2 = 182 + 122 = 468 ⇒ BF = 6√13 cm ⇒ BG = 2/3 BF = 4√13 cm

    Tổng các khoảng cách từ trọng tâm G của tam giác đến các đỉnh của tam giác là:

    AG + BG + CG = 10 + 4√13 + 2√73 (cm)

    Bài 7: Gọi S = ma2 + mb2 + mc2 là tổng bình phương độ dài ba đường trung tuyến của tam giác ABC. Khẳng định nào sau đây là đúng? (cho BC = a, CA = b, AB = c)

    Công thức, cách tính độ dài đường trung tuyến cực hay, chi tiết - Toán lớp 10

    Lời giải:

    Áp dụng công thức trung tuyến trong tam giác ABC ta có:

    Công thức, cách tính độ dài đường trung tuyến cực hay, chi tiết - Toán lớp 10

    Đáp án A

    Bài 8: Cho tam giác ABC có AB = 3, BC = 5 và độ dài đường trung tuyến Công thức, cách tính độ dài đường trung tuyến cực hay, chi tiết - Toán lớp 10. Độ dài AC là:

    Công thức, cách tính độ dài đường trung tuyến cực hay, chi tiết - Toán lớp 10

    Hướng dẫn giải:

    Công thức, cách tính độ dài đường trung tuyến cực hay, chi tiết - Toán lớp 10

    BM là trung tuyến của tam giác ABC, áp dụng công thức trung tuyến ta có:

    Công thức, cách tính độ dài đường trung tuyến cực hay, chi tiết - Toán lớp 10

    Đáp án B

    Trên đây THPT Sóc Trăng đã giới thiệu đến quý thầy cô và các bạn công thức tính độ dài trung tuyến trong tam giác cực hay và các dạng toán thương gặp. Hi vọng, đây là nguồn tư liệu thiết yếu giúp các bạn dạy và học tốt hơn. Xem thêm cách tính tọa độ trọng tâm tam giác nữa bạn nhé !

    Đăng bởi:


    bài viết liên quan

    hỏi đáp

    LEAVE A REPLY

    Please enter your comment!
    Please enter your name here

    mạng xã hội

    spot_img

    bài viết